Zukunftswert-Formel erklärt mit praktischen Beispielen

Die grundlegende Zukunftswert-Formel

Die Zukunftswert-Formel berechnet, wie viel eine Investition an einem zukünftigen Datum bei einer bestimmten Wachstumsrate wert sein wird:

$FV = PV \times \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$

Wo:

• FV = Zukunftswert der Investition
• PV = Gegenwartswert (Anfangsinvestition)
• r = Jährlicher Zinssatz (als Dezimalzahl)
• n = Anzahl der Zinsperioden pro Jahr
• t = Anzahl der Jahre, die das Geld investiert ist
• $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ = Der Wachstumsfaktor

Zukunftswert einer Serie (Annuität)

Wenn Sie regelmäßige Beiträge zusätzlich zu einer Pauschale leisten, benötigen Sie die Zukunftswert einer Serie-Formel.

Einzahlungen am Ende der Periode (einfache Annuität)

$FV = PMT \times \frac{\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} - 1}{\frac{r}{n}}$

Einzahlungen am Anfang der Periode (Annuität aufgeschoben)

$FV = PMT \times \frac{\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} - 1}{\frac{r}{n}} \times \left(1 + \frac{r}{n}\right)$

Wo:

• PMT = Der regelmäßige Zahlungs-/Einzahlungsbetrag
• Die Annuität-aufgeschoben-Formel multipliziert einfach mit $\left(1 + \frac{r}{n}\right)$ um eine extra Zinsperiode für jede Einzahlung zu berücksichtigen

Kombinierte Formel (Pauschale + Beiträge)

$FV = PV \times \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} + PMT \times \frac{\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} - 1}{\frac{r}{n}}$

Beispiel 1: Nur Pauschale

Sie investieren 5.000 € bei 6 % jährlichem Zinssatz, monatlich verzinst, über 5 Jahre.

$FV = 5.000 \text{ €} \times \left(1 + \frac{0,06}{12}\right)^{12 \times 5}$ $FV = 5.000 \text{ €} \times (1,005)^{60}$ $FV = 5.000 \text{ €} \times 1,34885$ $FV = 6.744,25 \text{ €}$

• Erstinvestition: 5.000,00 €
• Verdiente Zinsen: 1.744,25 €
• Zukunftswert: 6.744,25 €

Beispiel 2: Monatliche Beiträge

Sie beginnen mit 10.000 € und zahlen 200 € pro Monat am Ende jedes Monats ein. Der Zinssatz beträgt 7 %, monatlich verzinst, über 15 Jahre.

Schritt 1: Zukunftswert der ursprünglichen 10.000 €

$FV_{pv} = 10.000 \text{ €} \times \left(1 + \frac{0,07}{12}\right)^{12 \times 15}$ $FV_{pv} = 10.000 \text{ €} \times (1,00583)^{180}$ $FV_{pv} = 10.000 \text{ €} \times 2,8489$ $FV_{pv} = 28.489,00 \text{ €}$

Schritt 2: Zukunftswert der 200 € monatlicher Beiträge

$FV_{pmt} = 200 \text{ €} \times \frac{(1,00583)^{180} - 1}{0,00583}$ $FV_{pmt} = 200 \text{ €} \times \frac{2,8489 - 1}{0,00583}$ $FV_{pmt} = 200 \text{ €} \times 317,14$ $FV_{pmt} = 63.428,00 \text{ €}$

Schritt 3: Gesamter Zukunftswert

$\text{Gesamt FV} = 28.489,00 \text{ €} + 63.428,00 \text{ €} = 91.917,00 \text{ €}$

• Gesamte Einzahlungen: 10.000 € + (200 € × 180) = 46.000 €
• Gesamte verdiente Zinsen: 91.917,00 € - 46.000 € = 45.917,00 €

Beispiel 3: Annuität aufgeschoben vs. einfache Annuität

Sie zahlen 500 € pro Monat bei 5 % Zinssatz über 20 Jahre ein.

Einzahlungen am Anfang jeder Periode bringen Ihnen über 20 Jahre zusätzliche 854 € — nur durch Verschiebung des Einzahlungszeitpunkts.

Vergleich der Zinsfrequenz

10.000 € investiert bei 5 % über 10 Jahre:

Der Unterschied zwischen jährlicher und täglicher Verzinsung beträgt etwa 198 € über 10 Jahre bei einer Investition von 10.000 €.

Die Regel von 72

Eine schnelle Möglichkeit, zu schätzen, wie lange es dauert, bis sich eine Investition verdoppelt:

$\text{Verdopplungszeit} \approx \frac{72}{\text{Zinssatz}}$

Dies ist eine nützliche mentale Abkürzung, obwohl sie bei sehr hohen oder sehr niedrigen Zinsen weniger genau ist.

Gegenwartswert vs. Zukunftswert

Die Gegenwartswert-Formel ist einfach die Zukunftswert-Formel umgestellt, um den Gegenwartswert zu berechnen:

$PV = \frac{FV}{\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}}$

Dies sagt Ihnen, wie viel Sie heute investieren müssen, um ein zukünftiges Ziel zu erreichen.

Beispiel: Wie viel müssen Sie heute investieren, um in 10 Jahren 50.000 € bei 6 % monatlich verzinst zu haben?

$PV = \frac{50.000 \text{ €}}{\left(1 + \frac{0,06}{12}\right)^{120}}$ $PV = \frac{50.000 \text{ €}}{1,8194}$ $PV = 27.472,00 \text{ €}$

Sie müssten heute 27.472 € investieren, um in 10 Jahren 50.000 € bei 6 % zu haben.